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MA1004. Objetivos del Tercer Parcial

Cualquiera de los siguientes objetivos pueden ser evaluados en el tercer parcial.

 

  • 1. Aplicaciones lineales:

    • Conocer el concepto de aplicación lineal y sus propiedades básicas.
    • Determinar si una función dada entre dos espacios vectoriales es una aplicación lineal.
    • Reconocer los subespacios núcleo e imagen de una aplicación lineal.
    • Obtener bases para el núcleo y la imagen de una aplicación lineal.
    • Determinar completamente una transformación lineal, a partir de las imágenes de los elementos de una base de su dominio.
    • Determinar completamente una transformación lineal a partir de las imágenes de algunos objetos geométricos dados.
    • Determinar si una aplicación lineal es inyectiva.
    • Determinar si una aplicación lineal es sobreyectiva.
    • Conocer y aplicar la relación entre las dimensiones del dominio, el núcleo y la imagen de una aplicación lineal.
    • Conocer que la suma de aplicaciones lineales, la multiplicación por escalar de una aplicación lineal y la composición de aplicaciones lineales es una aplicación lineal.
    • Conocer que el conjunto de todas las aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriales tiene estructura de espacio vectorial, con las operaciones usuales.
    • Reconocer que todo matriz de dimensión determina una aplicación lineal de en .
    • Obtener una representación matricial para una aplicación lineal dada de con respecto a las bases canónicas, e identificar la acción de la aplicación lineal como una multiplicación de una matriz por un vector.
    • Obtener una representación matricial para una aplicación lineal dada de en con respecto a bases dadas para el dominio y el producto de matrices.
    • Reconocer una representación matricial de la aplicación identidad, como una matriz de cambio de base.
    • Obtener distintas representaciones matriciales de una aplicación lineal, mediante multiplicación por matrices de cambio de base.
    • Determinar si una aplicación lineal es invertible y en caso afirmativo obtener la aplicación lineal inversa.
    • Conocer la relación entre transformaciones lineales invertibles y matrices invertibles y aplicarlo a obtener inversas de aplicaciones lineales inyectivas. (Biyectivas sobre su Imagen).

 

  • 2. Valores y vectores propios:

    • Conocer los conceptos de valor y vector propio de una matriz cuadrada.
    • Calcular el polinomio característico de una matriz cuadrada.
    • Identificar los valores propios de una matriz cuadrada con las raíces de su polinomio característico.
    • Conocer el concepto de espacio propio correspondiente a un valor propio.
    • Determinar los espacios propios correspondientes a los distintos valores propios de una matriz cuadrada, obteniendo una base para cada uno de tales espacios propios.
    • Identificar la multiplicidad algebraica y geométrica de un valor propio.
    • Determinar si una matriz dada A es diagonalizable.
    • Determinar si una matriz dada A es ortogonalmente diagonalizable.
    • Conocer que una matriz real es ortogonalmente diagonalizable si y solo si es simétrica.
    • Interpretar y aplicar todo lo desarrollado para matrices cuadradas a los operadores lineales en IR a la n .

 

  • 3. Curvas y superficies cuadráticas:

    • Conocer el concepto de forma cuadrática.
    • Expresar una forma cuadrática en forma matricial. (Representada por una matriz simétrica)
    • Eliminar los términos mixtos de una forma cuadrática, mediante la diagonlización ortogonal de la matriz asociada y un cambio de variables apropiado.
    • Aplicar la diagonalización ortogonal de las formas cuadráticas a la representación, en forma canónica, de las secciones cónicas.
    • Dada una ecuación cuadrática en dos variables, identificar la sección cónica correspondiente, llevarla a una representación canónica y representarla gráficamente, dibujando, en un mismo gráfico, los ejes correspondientes a las variables originales, los ejes correspondientes a la transformación efectuada para llevar la sección cónica a su forma canónica; e indicar el valor del ángulo de rotación de los ejes originales (si hay rotación).
    • Dada una ecuación cuadrática en tres variables, identificar la superficie cuadrática correspondiente, llevarla a una ecuación canónica, e indicar el valor de los ángulos de rotación de los ejes originales (si hay rotación) respecto de cada uno de los nuevos ejes.

 

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